각론

Ⅳ. 집합과 명제

01

다음 중 집합인 것을 모두 고르면?

① 제주도에 거주하는 고등학교 [eqn: 1]학년 학생들의 모임

② 우리 학교에서 키가 큰 학생들의 모임

③ [eqn: 10]에 가까운 수들의 모임

④ 우리 반에서 멋진 학생들의 모임

⑤ [eqn: 20]의 약수들의 모임

02

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: A∪B=(1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6 right}],

[eqn: A-B=(1,~ 2 right}], [eqn: B-A=left{5,~ 6right}]

일 때, [eqn: A∩B]의 모든 원소의 합은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

03

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가 [eqn: A∩B^C =∅]을 만족시킬 때, 다음 중 항상 성립하는 것은?

① [eqn: A⊂B]	② [eqn: A^C ⊂B^C]

③ [eqn: A∩B=B]	④ [eqn: A∪B=A]

⑤ [eqn: A∪B^C =U]

04

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가

[eqn: p]: [eqn: -1<x<2], [eqn: q]: [eqn: -2<x<a]

일 때, 명제 [eqn: p] → [eqn: q]가 참이 되기 위한 상수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: -2≤a≤0]	② [eqn: -1≤a≤0]

③ [eqn: -2≤a≤2]	④ [eqn: a≥0]

⑤ [eqn: a≥2]

Ⅳ. 집합과 명제

05

두 집합 [eqn: A= left{1,~ a^3 -3a right}], [eqn: B= left{a+2,~ a^2 -a right}]에 대하여 [eqn: A∩B= left{2 right}]가 되도록 상수 [eqn: a]의 값을 정할 때, 집합 [eqn: A∪B]의 모든 원소의 합을 구하시오.

06

다음 중 오른쪽 그림의 벤다이어그램에서 색칠한 부분을 나타낸 것은?

① [eqn: A∩(B∪C)^C]

② [eqn: A∩(B-C)^C]

③ [eqn: A∪(B∪C)^C]

④ [eqn: A∩(B-C)]

⑤ [eqn: A∩(C-B)]

07

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: (A∪B)∩(A^C ∪B^C`` )]

과 항상 같은 집합은?

① [eqn: ∅]	② [eqn: U]	③ [eqn: A-B]

④ [eqn: B-A]	⑤ [eqn: (A-B)∪(B-A)]

08

자연수 [eqn: k]의 배수를 원소로 하는 집합을 [eqn: A_k]라고 할 때,

[eqn: A_m ⊂(A_4 ∩A_5 )], [eqn: (A_12 ∪A_18 )⊂A_n]

을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m]의 최솟값과 [eqn: n]의 최댓값의 합은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

09

[eqn: a], [eqn: b]가 실수일 때, 다음 중 조건 ‘[eqn: a^2 +b^2 =0]’의 부정과 같은 것은?

① [eqn: ab>0]	② [eqn: ab<0]

③ [eqn: a !=0]이고 [eqn: b !=0]	④ [eqn: a !=0] 또는 [eqn: b !=0]

⑤ [eqn: a^2 +b^2 <0]

10

전체집합 [eqn: U]에서 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]를 만족시키는 집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R]라고 할 때, 세 집합 사이의 포함 관계가 오른쪽 그림과 같다. 이때 다음 중 참인 명제는?

① [eqn: q] → [eqn: r]	② [eqn: r] → [eqn: ∼p]

③ ([eqn: q] 또는 [eqn: r]) → [eqn: ∼p]	④ ([eqn: ∼q]이고 [eqn: r]) → [eqn: p]

⑤ [eqn: p] → ([eqn: ∼p] 또는 [eqn: r])

11

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 명제 [eqn: p] → [eqn: ∼q], [eqn: ∼q] → [eqn: r], [eqn: ∼p] → [eqn: ∼r]가 모두 참일 때, 다음 명제 중 반드시 참이라고 할 수 없는 것은?

① [eqn: p] → [eqn: r]	② [eqn: q] → [eqn: ∼r]	③ [eqn: ∼p] → [eqn: q]

④ [eqn: ∼q] → [eqn: p]	⑤ [eqn: ∼r] → [eqn: p]

12

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요충분조건인 것은? (단, [eqn: x], [eqn: y]는 실수이다.)

① [eqn: p]: [eqn: x<0], [eqn: y>0]	[eqn: q]: [eqn: xy<0]

② [eqn: p]: [eqn: x^2 -1=0]	[eqn: q]: [eqn: x=1]

③ [eqn: p]: [eqn: x=0]	[eqn: q]: [eqn: x^2 ≤0]

④ [eqn: p]: [eqn: rm△ABC]는 정삼각형	[eqn: q]: [eqn: rm∠B< 90°]

⑤ [eqn: p]: [eqn: x]는 [eqn: 4]의 배수	[eqn: q]: [eqn: x]는 [eqn: 2]의 배수

13

집합 [eqn: A=(x`|`x]는 자연수[eqn: ` right}]의 공집합이 아닌 부분집합 [eqn: S]에 대하여 ‘[eqn: x∈S]이면 [eqn: 6-x∈S]이다.’를 만족시키는 집합 [eqn: S]의 개수를 구하시오.

14

두 안건 [eqn: P], [eqn: Q]에 대하여 [eqn: 100]명에게 찬성과 반대의 의견을 조사하였더니 다음과 같은 결과를 얻었다

㈎ [eqn: P]안건에 [eqn: 60]명이 찬성하고 나머지 [eqn: 40]명은 반대하였다.

㈏ [eqn: Q]안건에 [eqn: 99]명이 찬성하고 나머지 [eqn: 34]명은 반대하였다.

㈐ 두 안건 [eqn: P], [eqn: Q] 모두 찬성한 사람의 수는 모두 반대한 사람의 수의 [eqn: 3]배보다 [eqn: 8]명이 많았다.

이때 두 안건 [eqn: P], [eqn: Q] 모두 찬성한 사람 수를 구하시오.

15

전체집합 [eqn: U= left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5 right}]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가 [eqn: A∪B=U], [eqn: A∩B=∅]을 만족시킬 때, 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]의 순서쌍 [eqn: (A,~ B)]의 개수를 구하시오.

16

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]가

[eqn: p]: [eqn: |`a`|+|`b`|=0]

[eqn: q]: [eqn: a^2 + b^2 =2ab]

[eqn: r]: [eqn: |`a+b`|=|`a-b`|]

일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 충분조건이다.

ㄴ. [eqn: ∼p]는 [eqn: ∼r]이기 위한 필요조건이다.

ㄷ. [eqn: q]이고 [eqn: r]은 [eqn: p]이기 위한 필요충분조건이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17

두 집합

[eqn: A= left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7 right}], [eqn: B= left{1,~ 3,~ 5,~ 7,~ 9 right}]

에 대하여 다음 조건을 모두 만족시키는 집합 [eqn: X]의 개수를 구하시오.

[eqn: A∩X=X], [eqn: (A-B)∪X=X]

18

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: n(U)=25], [eqn: n(A^C``)=15], [eqn: n(A^C ∩B^C``)=7]

일 때, [eqn: n(B-A)]를 구하시오.

19

두 집합 [eqn: A= left{1,~ 2,~ 3,~ 4 right}], [eqn: B= left{3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7 right}]에 대하여

[eqn: A∩S=S], [eqn: (A-B)∪S=S]

를 만족시키는 집합 S를 모두 구하시오.

20

두 조건 [eqn: p]: [eqn: -2<x<3], [eqn: q]: [eqn: |`x-a`|<3]에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

21

자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 ‘[eqn: a^2 =b^2]이 홀수이면 [eqn: a], [eqn: b] 중 하나는 홀수, 하나는 짝수이다.’를 귀류법을 이용하여 증명하시오.

22

[eqn: x>0], [eqn: y>0]이고 [eqn: 2x+3y=5]일 때,

[eqn: root2x + root3y]의 최댓값을 구하시오.